Question

【题目】（Ⅰ）已知c＞0，关于x的不等式：x+|x-2c|≥2的解集为R．求实数c的取值范围；

（Ⅱ）若c的最小值为m，又p、q、r是正实数，且满足p+q+r=3m，求证：p2+q2+r2≥3．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）[1，+∞）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

（I）由题意只需x+|x﹣2c|的最小值大于等于2即可，解不等式即可得c的范围；（Ⅱ）由（1）知p+q+r＝3，运用柯西不等式，可得（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2，即可得证．

解：（I）不等式x+|x-2c|≥2的解集为R 函数y=x+|x-2c|在R上恒大于或等于2，

∵x+|x-2c|=，∴函数y=x+|x-2c|，在R上的最小值为2c，∴2c≥2c≥1．

所以实数c的取值范围为[1，+∞）；

（Ⅱ）证明：由（1）知p+q+r=3，又p，q，r是正实数，

所以（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=9，

即p2+q2+r2≥3．当且仅当p=q=r=1等号成立．