Question

（2011•普宁市模拟）如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B、P在单位圆上，且B(-

3

5

，

4

5

)，∠AOB=α，∠AOP=θ（0＜θ＜π），

OQ

=

OA

+

OP

，四边形OAQP的面积为S．
（Ⅰ）求cosα+sinα；
（Ⅱ）求

OA

•

OQ

+S的最大值及此时θ的值θ₀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数的定义，直接求出cosα，sinα；即可得到cosα+sinα；
（Ⅱ）由题意求出求

OA

•

OQ

，S，利用两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，通过0＜θ＜π
求出表达式的最大值及此时θ的值θ₀．

解答：解：（1）∵B(-

3

5

，

4

5

)，∠AOB=α，
cosα=-

3

5

，sinα=

4

5

所以cosα+sinα=

1

5

（2）由题意可知A（1，0），P（cosθ，sinθ），
∴

OQ

=（1+cosθ，sinθ），

OA

•

OQ

=1+cosθ，
因为

OQ

=

OA

+

OP

，四边形OAQP是平行四边形．
所以S=|OA||OP|sinθ=sinθ．
∴

OA

•

OQ

+S=1+cosθ+sinθ
=

2

sin(θ+

π

4

) +1   0＜θ＜π
则

OA

•

OQ

+S的最大值为：1+

2

此时θ₀=

π

4

．

点评：本题是基础题，考查三角函数的定义，向量的数量积，三角函数的化简求值，考查计算能力．