Question

【题目】设函数（其中a∈R）．

（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．

（2）若，试判断函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调性，并用函数单调性定义给出证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据题意，求出函数的定义域，分a=0与a≠0两种情况讨论函数的奇偶性，即可得答案；

（2）根据题意，设1≤x1＜x2，由作差法分析可得结论．

（1）函数，其定义域为{x|x≠0}，

当a=0时，f（x）=，有f（-x）=-f（x），则函数f（x）为奇函数；

当a≠0时，，f（-x）=ax2-，

有f（x）≠f（-x）且f（-x）≠-f（x），

则函数f（x）是非奇非偶函数；

（2）根据题意，函数f（x）在[1，+∞）上为增函数；

证明：设1≤x1＜x2，

则f（x1）-f（x2）=（ax12+）-（ax22+）=（x1-x2）[a（x1+x2）]，

又由1≤x1＜x2，则（x1-x2）＜0，[a（x1+x2）＞1，＜1，则有f（x1）-f（x2）＜0，

则函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．