Question

已知f（x）=4x+ax2-

2

3

x3(x∈R)在区间[-1，1]上是增函数．
（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f（x）=2x+

1

3

x3的两个非零实根为x₁、x₂．试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接求出函数的导函数，转化成不等式恒成立问题解决即可；
（Ⅱ）利用韦达定理先求出|x₁-x₂|，变为不等式恒成立问题，再构造函数利用函数的导数求最值即可解决．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=4+2ax-2x²，∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f'（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，
即x²-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立．①
设φ（x）=x²-ax-2，
①?

φ(1)=1-a-2≤0 φ(-1)=1+a-2≤0

?-1≤a≤1，
∵对x∈[-1，1]，只有当a=1时，f'（-1）=0以及当a=-1时，f'（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．

（Ⅱ）由4x+ax2-

2

3

x3=2x+

1

3

x3，得x=0，或x²-ax-2=0，
∵△=a²+8＞0
∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的两非零实根，x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，
从而|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+8

．
∵-1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=

a2+8

≤3．
要使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
当且仅当m²+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立，
即m²+tm-2≥0对任意t∈[-1，1]恒成立．②
设g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），
②?g（-1）=m²-m-2≥0且g（1）=m²+m-2≥0，
?m≥2或m≤-2．
所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}．

点评：本题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．