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    设f（x）为定义在区间I上的函数．若对I上任意两点x1，x2（x1≠x2）和实数λ∈（0，1），总有f（λx1+（1-λ）x2）＜λf（x1）+（1-λ）f（x2），则称f（x）为I上的严格下凸函数．若f（x）为I上的严格下凸函数，其充要条件为：对任意x∈I有f∥（x）＞0成立（f∥（x）是函数f（x）导函数的导函数），则以下结论正确的有
    ①④
    ①④
    ．
    ①f（x）=
    2x+2014
    3x+7
    ，x∈[0，2014]是严格下凸函数．
    ②设x1，x2∈（0，
    π
    2
    ）且x1≠x2，则有tan(
    x1+x2
    2
    )＞
    1
    2
    (tanx1+tanx2)
    ③若f（x）是区间I上的严格下凸函数，对任意x0∈I，则都有f（x）＞f′（x0）（x-x0）+f（x0）
    ④f（x）=
    1
    6
    x3    +sinx，（x∈（
    π
    6
    ，
    π
    3
    ））是严格下凸函数．
    分析：根据严格下凸函数的充要条件，求f∥（x）＞0恒成立即可．
    解答：解：①因为f（x）=
    2x+2014
    3x+7
    =
    2
    3
    (3x+7)+2014-
    14
    3
    3x+7
    =
    2
    3
    +
    6028
    9x+21
    ，所以f'（x）=-
    6028×9
    (9x+21)2
    =-
    6028
    (3x+7)2
    ，
    所以f∥（x）=
    2×3×6028
    (3x+7)3
    ，当x∈[0，2014]时，f∥（x）＞0恒成立，所以①正确．
    ②若x1=
    π
    3
    ，x2=
    π
    6
    ，则
    1
    2
    (tanx1+tanx2)=
    1
    2
    (tan
    π
    3
    +tan
    π
    6
    )=
    1
    2
    (
    		3
    3
    +
    		3
    )=
    2
    		3
    3
    ，而
    1
    2
    (tan?
    x1+x2
    2
    =tan?
    π
    3
    +
    π
    6
    2
    )=tan?
    π
    4
    =1    ，
    所以有tan(
    x1+x2
    2
    )＞
    1
    2
    (tanx1+tanx2)    不成立，所以②错误．
    ③因为f（x）=x2为严格下凸函数，则f'（x）=2x，f∥（x）=2＞0恒成立，当x0=1时，f′（1）=2，f（1）=1，
    此时不等式等价为，f（x）＞2（x-1）+1=2x-1，当x=0时，f（0）=0＞-1不成立，所以③错误．
    ④若f（x）=
    1
    6
    x3    +sinx，则f'（x）=
    1
    2
    x2+cosx    ，f∥（x）=x-sinx，当x∈[
    π
    6
    ，
    π
    3
    ]，设y=x-sinx，则y'=1-cosx≥0，所以函数f∥（x）=x-sinx单调递增，
    所以f∥（
    π
    6
    ）=
    π
    6
    -sin
    π
    6
    =
    π
    6
    -
    1
    2
    ＞0    ），所以f（x）=
    1
    6
    x3    +sinx，（x∈（
    π
    6
    ，
    π
    3
    ））是严格下凸函数，所以④正确．
    故答案为：①④．
    点评：本题主要考查新定义的应用，考查学生的运算能力，综合性较强．正确理解新定义是解决本题的关键．
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