Question

f（x）为定义在区间（-2，2）的奇函数，它在区间（0，2）上的图象为如图所示的一条线段，则不等式f（x）-f（-x）＞x的解集为

（-2，-1）∪（0，1）

．

Answer 1

分析：f（x）-f（-x）＞x可化为f（x）＞

1

2

x，由奇函数的性质作出f（x）的图象，再作出y=

1

2

x的图象，根据图象求出f（x），y=f（x）与y=

1

2

x的交点，结合图象即可求出解集．

解答：解：因为f（x）为奇函数，所以f（x）-f（-x）＞x可化为f（x）+f（x）＞x，即f（x）＞

1

2

x，
由奇函数的图象关于原点对称，可作出函数f（x）的图象及y=

1

2

x的图象，如图所示：

由图象可求得f（x）=

- 1 2 x+1，0＜x＜2 0，x=0 - 1 2 x-1，-2＜x＜0

，
由

y=- 1 2 x+1 y= 1 2 x

解得x=1，由

y=- 1 2 x-1 y= 1 2 x

解得x=-1，
结合图象知f（x）＞

1

2

x，即（x）-f（-x）＞x的解集为（-2，-1）∪（0，1）．
故答案为：（-2，-1）∪（0，1）．

点评：本题考查函数奇偶性的应用，属基础题，注意数形结合思想在解不等式中的应用．