Question

已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两准线间的距离为2，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是，求椭圆的方程

Answer 1

解法一：

令椭圆方程为，由题得：，

由可得，

又即  

椭圆方程为

解法二：

令椭圆方程为，由题得：，

由作差得

又即  

椭圆方程为

解析:

椭圆中心定，焦点定，所以椭圆的位置定，而且由准线方程可得一个方程，还有一个方程怎么找？根据直线与椭圆相交，可联立方程组，利用韦达定理解决，事实上就是把交点问题化归为方程根的问题，有关中点问题还可设弦的两端点坐标代入椭圆方程相减，式中含有三个未知量，但直接联系了中点和直线的斜率，同样可得到a与b的关系（点差法）从而解决问题，但两者又各有弊端：韦达定理解决过程中易漏解，需关注直线的斜率问题；点差法则在确定范围方面略显不足。