Question

（2010•广东模拟）已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，其中主视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形．E是侧棱PC上的动点．
（Ⅰ）求证：BD⊥AE
（Ⅱ）若E为PC的中点，求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若五点A，B，C，D，P在同一球面上，求该球的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证BD⊥AE，只要证BD⊥面PAC，只需证BD⊥AC，BD⊥PC；（Ⅱ）要求直线BE与平面PBD所成角的正弦值，必须找到直线BE在平面PBD内的射影，由（Ⅰ）易找面PBD的垂线，归结为解直角三角形；（Ⅲ）补图，把原图形补成一个长方体，即求该长方体的外接球的体积．

解答：（Ⅰ）证明：由已知PC⊥BC，PC⊥DC⇒PC⊥面ABCD
∵BD?面ABCD⇒BD⊥PC，
又因为BD⊥AC，∴BD⊥面PAC，
又∵AE?面PAC，∴BD⊥AE．
（Ⅱ）解；连AC交BD于点O，连PO，
由（1）知BD⊥面PAC，⇒面BED⊥面PAC，过点E作EH⊥PO于H，则EH⊥面PBD，
∴∠EBH为BE与平面PBD所成的角．
∵EH=

1

3

，BE=

2

，
则sin∠EBH=

1 3

2

=

2

6

．
（Ⅲ）解：以正方形ABCD为底面，PC为高补成长方体，此时对角线PA的长为球的直径，
∴2R=PA=

1+1+4

=

6

，所以R=

6

2

．
V球=

4

3

πR3=

6

π．

点评：考查简单的空间图形的三视图，和线面垂直的判定和性质定理，以及线面角的求法，和几何体的外接球的体积等知识，综合性强，思维跨度大，体现了转化的思想方法，和割补法，属中档题．