Question

如图，F₁、F₂分别是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF₂与椭圆C的另一个交点，∠F₁AF₂＝60°.

(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知△AF₁B的面积为40，求a，b的值．

Answer 1

（1）e＝.（2）a＝10，b＝5

(1)由题意可知，△AF₁F₂为等边三角形，a＝2c，所以e＝.
(2)方法一：a²＝4c²，b²＝3c²，直线AB的方程为y＝－ (x－c)，
将其代入椭圆方程3x²＋4y²＝12c²，得B，
所以|AB|＝..
由S△AF₁B＝ |AF₁|·|AB|·sin∠F₁AB＝a·c·＝ a²＝40，
解得a＝10，b＝5.
方法二：设|AB|＝t.因为|AF₂|＝a，所以|BF₂|＝t－a，
由椭圆定义|BF₁|＋|BF₂|＝2a可知，|BF₁|＝3a－t，
再由余弦定理(3a－t)²＝a²＋t²－2atcos 60°可得，t＝a，
由S△AF₁B＝aa＝a²＝40知，a＝10，b＝5.