(本小题满分14分)
已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是直角三角形,∠C=90°,侧棱与底面所成的角为α (0°<α<90°),点在底面上的射影
落在
上.
(1)求证:AC⊥平面BB1C1C;
(2)若AB1⊥BC1,D为BC的中点,求α ;
(3)若α = arccos ,且AC=BC=AA1时,求二面角C1—AB—C的大小.
解 (1)∵ B1D⊥平面ABC, AC平面ABC,
∴ B1D⊥AC, 又AC⊥BC, BC∩B1D=D.
∴ AC⊥平面BB1C1C.
(2) ∵ AC⊥平面BB1C1C ,AB1⊥BC1 ,由三垂线定理可知,
B1C⊥BC1.
∴ 平行四边形BB1C1C为菱形,此时,BC=BB1.
又∵ B1D⊥BC,D为BC中点,B1C= B1B,∴△BB1C为正三角形,
∴ ∠B1BC= 60°.
(3)过C1作C1E⊥BC于E,则C1E⊥平面ABC.
过E作EF⊥AB于F,C1F,由三垂线定理,得C1F⊥AB.
∴∠C1FE是所求二面角C1—AB—C的平面角.
设AC=BC=AA1=a,
在Rt△CC1E中,由∠C1BE=α=,C1E=
a.
在Rt△BEF中,∠EBF=45°,EF=BE=
a.
∴∠C1FE=45°,故所求的二面角C1—AB—C为45°.
解法二:(1)同解法一
(2)要使AB1⊥BC1,D是BC的中点,即=0,||=||,
∴,
=0,∴
.
∴,故△BB1C为正三角形,∠B1BC=60°;
∵ B1D⊥平面ABC,且D落在BC上,
∴ ∠B1BC即为侧棱与底面所成的角.
故当α=60°时,AB1⊥BC1,且D为BC中点.
(3)以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,经过C点且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,-,
a),
平面ABC的法向量n1=(0,0,1),设平面ABC1的法向量n2=(x,y,z).
由n2=0,及
n2=0,得
∴n2=(,
,1).
cos<n1, n2>= = ,
故n1 , n2所成的角为45°,即所求的二面角为45
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π |
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π |
4 |
π |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分14分)设椭圆C1的方程为(a>b>0),曲线C2的方程为y=
,且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。(1)试用a表示点P的坐标;(2)设A、B是椭圆C1的两个焦点,当a变化时,求△ABP的面积函数S(a)的值域;(3)记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
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科目:高中数学 来源:2011年江西省抚州市教研室高二上学期期末数学理卷(A) 题型:解答题
(本小题满分14分)
已知=2,点(
)在函数
的图像上,其中
=
.
(1)证明:数列}是等比数列;
(2)设,求
及数列{
}的通项公式;
(3)记,求数列{
}的前n项和
,并证明
.
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科目:高中数学 来源:2015届山东省威海市高一上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)
某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现,第天(
)的销售价格(单位:元)为
,第
天的销售量为
,已知该商品成本为每件25元.
(Ⅰ)写出销售额关于第
天的函数关系式;
(Ⅱ)求该商品第7天的利润;
(Ⅲ)该商品第几天的利润最大?并求出最大利润.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年广东省高三下学期第一次月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)已知的图像在点
处的切线与直线
平行.
⑴ 求,
满足的关系式;
⑵ 若上恒成立,求
的取值范围;
⑶ 证明:(
)
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