Question

定长等于2

6

的线段AB的两个端点分别在直线y=

6

2

x和y=-

6

2

x上滑动，线段AB中点M的轨迹为C；
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点（0，1）的直线l与轨迹C交于P，Q两点，问：在y轴上是否存在定点T，使得不论l如何转动，

TP

•

TQ

为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设M(x，y)，A(x1，

6

2

x1)，B(x2，-

6

2

x2)，|AB|=2

6

，由中点坐标公式及两点间距离公式可得轨迹C的方程；
（Ⅱ）若l不与y轴重合，设直线l方程为y=kx+1，代入椭圆C的方程得x的二次方程，设P（x₃，kx₃+1），Q（x₄，kx₄+1），由向量数量积运算及韦达定理可把

TP

•

TQ

表示为t的式子，为使

TP

•

TQ

为定值，可求得t值，从而得到此时点T坐标，当l与y轴重合时易验证；

解答：解：（Ⅰ）设M(x，y)，A(x1，

6

2

x1)，B(x2，-

6

2

x2)，
则x₁+x₂=2x，x1-x2=

4y

6

，代入|AB|=

(x1-x2)2+ 6 4 (x1+x2)2

=2

6

，
得轨迹C的方程为

16y2

6

+6x2=24，即

y2

9

+

x2

4

=1；
（Ⅱ）（1）若l不与y轴重合，设直线l方程为y=kx+1，代入椭圆C的方程得（4k²+9）x²+8kx-32=0，
设P（x₃，kx₃+1），Q（x₄，kx₄+1），
则x3+x4=-

8k

4k2+9

，x3•x4=-

32

4k2+9

；
设点T（0，t），则

TP

•

TQ

=x₃•x₄+（kx₃+1-t）•（kx₄+1-t）
=(1+k2)x3x4+k(1-t)(x3+x4)+(1-t)2
=

-32(1+k2)-8k2(1-t)+(1-t)2(4k2+9)

4k2+9

=

[-40+8t+4(1-t)2]k2+[-32+9(1-t)2]

4k2+9

，
使

TP

•

TQ

为定值，则 

-32+9(1-t)2

-40+8t+4(1-t)2

=

9

4

，
解得t=

29

9

，即对于点T(0，

29

9

)总有

TP

•

TQ

=

16×7

9×9

；
（2）当l与y轴重合时，P（0，3），Q（0，-3），对于点T(0，

29

9

)也有

TP

•

TQ

=

16×7

9×9

，
故在y轴上存在定点T(0，

29

9

)使得

TP

•

TQ

为定值．

点评：本题考查轨迹方程的求解、平面向量数量积的运算、直线与圆锥曲线的位置关系等内容，考查学生的探究能力及解决问题的能力．