Question

（2013•揭阳一模）如图，设点F₁（-c，0）、F₂（c，0）分别是椭圆C：

x2

a2

+y2=1(a＞1)的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且

PF1

•

PF2

最小值为0．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动直线l₁，l₂均与椭圆C相切，且l₁∥l₂，试探究在x轴上是否存在定点B，点B到l₁，l₂的距离之积恒为1？若存在，请求出点B坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），可得向量

F1P

、

F2P

坐标关于x、y的形式，从而得到

PF1

•

PF2

=x2+y2-c2，结合点P为椭圆C上的点，化简得

PF1

•

PF2

=

a2-1

a2

x2+1-c2，说明

PF1

•

PF2

最小值为1-c²=0，从而解出a²=2且b²=1，得到椭圆C的方程．
（2）当直线l₁，l₂斜率存在时，设它们的方程为y=kx+m与y=kx+n，与椭圆方程联解并利用根的判别式列式，化简得m²=1+2k²且n²=1+2k²，从而得到m=-n．再假设x轴上存在B（t，0），使点B到直线l₁，l₂的距离之积为1，由点到直线的距离公式列式，并化简去绝对值整理得k²（t²-3）=2或k²（t²-1）=0，再经讨论可得t=±1，得B（1，0）或B（-1，0）．最后检验当直线l₁，l₂斜率不存在时，（1，0）或（-1，0）到直线l₁，l₂的距离之积与等于1，从而得到存在点B（1，0）或B（-1，0），满足点B到l₁，l₂的距离之积恒为1．

解答：解：（1）设P（x，y），则有

F1P

=(x+c，y)，

F2P

=(x-c，y)-------------（1分）
∴

PF1

•

PF2

=x2+y2-c2
∵点P在椭圆C上，可得

x2

a2

+y2=1，可得y²=

a2-1

a2

x²，
∴

PF1

•

PF2

=

a2-1

a2

x2+1-c2，x∈[-a，a]-------------（2分）
因此，

PF1

•

PF2

最小值为1-c²=0，解之得c=1，可得a²=2，-------------------（3分）
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．---------------------------------------------（4分）
（2）①当直线l₁，l₂斜率存在时，设其方程为y=kx+m，y=kx+n--------------------（5分）
把l₁的方程代入椭圆方程，得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0
∵直线l₁与椭圆C相切，
∴△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0，化简得m²=1+2k²----------------------------（7分）
同理可得n²=1+2k²------------------------------------------------------------（8分）
∴m²=n²，而若m=n则l₁，l₂重合，不合题意，因此m=-n-----------------------（9分）
设在x轴上存在点B（t，0），点B到直线l₁，l₂的距离之积为1，
则

|kt+m|

k2+1

•

|kt-m|

k2+1

=1，即|k²t²-m²|=k²+1，---------------------------------（10分）
把1+2k²=m²代入，并去绝对值整理，可得k²（t²-3）=2或k²（t²-1）=0，而前式显然不能恒成立；
因而要使得后式对任意的k∈R恒成立
必须t²-1=0，解之得t=±1，得B（1，0）或B（-1，0）；----------------------------（12分）
②当直线l₁，l₂斜率不存在时，其方程为x=

2

和x=-

2

，---------------------------（13分）
定点（-1，0）到直线l₁，l₂的距离之积为(

2

-1)(

2

+1)=1；定点（1，0）到直线l₁，l₂的距离之积为(

2

+1)(

2

-1)=1，也符合题意．
综上所述，满足题意的定点B为（-1，0）或（1，0）--------------------------------------------（14分）

点评：本题给出椭圆上一点P，在

PF1

•

PF2

最小值为0的情况下求椭圆的方程，并讨论x轴上存在定点B到l₁，l₂的距离之积恒为1的问题，着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、点到直线的距离公式、向量数量积运算和直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于中档题．