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设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的右顶点A,x轴上有一点Q(2a,0),若双曲线上存在点P,使AP⊥PQ,则双曲线的离心率的取值范围是
1<e<
6
2
1<e<
6
2
分析:点P(m,n),根据
AP
PQ
利用数量积为零算出(m-a)(2a-m)-n2=0,结合点P(m,n)在双曲线上消去n,得关于m的一元二次方程:(m-a)(2a-m)-b2
m2
a2
-1
)=0,此方程的一个根为a,而另一个根为大于a的实数,由此建立关于a、b、c不等式关系,化简整理即可得到离心率e的取值范围.
解答:解:设点P(m,n),可得
AP
=(m-a,n),
PQ
=(2a-m,-n)
∵AP⊥PQ,
AP
PQ
=(m-a)(2a-m)-n2=0…(1)
又∵P(m,n)在双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1

m2
a2
-
n2
b2
=1
,得n2=b2
m2
a2
-1
)…(2)
将(2)式代入(1)式,得(m-a)(2a-m)-b2
m2
a2
-1
)=0
化简整理,得-
c2
a2
m2+3am+c2-3a2=0
此方程的一根为m1=a,另一根为m2=
3a3-ac2
c2

∵点P是双曲线上异于右顶点A的一点,
3a3-ac2
c2
>a,得3a2>2c2,即e2
3
2

由此可得双曲线的离心率e满足1<e<
6
2

故答案为:1<e<
6
2
点评:本题给出双曲线上存在一点P,到A(a,0)和Q(2a,0)所张的角等于90度,求双曲线离心率的取值范围,着重考查了双曲线的简单几何性质和直线与双曲线关系等知识,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为(  )
A、
5
4
B、5
C、
5
2
D、
5

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科目:高中数学 来源: 题型:

设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
的离心率e=
2
3
3
,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为
3
2

(1)求双曲线方程;
(2)直线y=kx+5(k≠0)与双曲线交于不同的两点C、D,且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上,求k值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设F1、F2是离心率为
5
的双曲线
x2
a2
-
y 2
b2
=1(a>0,b>0)
的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P,使(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0
(O为坐标原点)且|PF1|=λ|PF2|则λ的值为(  )
A、2
B、
1
2
C、3
D、
1
3

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科目:高中数学 来源: 题型:

设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的虚轴长为2,焦距为2
5
,则双曲线的渐近线方程为(  )

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设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2
3
,则双曲线的渐近线方程为(  )

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