Question

已知命题p：关于x的不等式x²-2x-a＞0解集为R；命题q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．如果“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则实数a的取值范围为

[-1，1）∪(

5

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：命题p：a＜-1．命题q：a＞

5

2

，或a＜1．由“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，知“p真q假”或“p假q真”．由此通过分类讨论能求出实数a的取值范围．

解答：解：∵命题p：关于x的不等式x²-2x-a＞0解集为R，
∴命题p：4+4a＜0，
即命题p：a＜-1．
∵命题q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点，
∴命题q：（2a-3）²-4＞0，
即命题q：a＞

5

2

，或a＜1．
∵“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，
∴“p真q假”或“p假q真”．
当“p真q假”时，

a＜-1 1≤a≤ 5 2

，无解．
当“p假q真”时，

a≥-1 a＞ 5 2 ，或a＜1

，
解得-1≤a＜1或a＞

5

2

．
故答案为：[-1，1）∪(

5

2

，+∞)．

点评：本题考查复合命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式解题公式的合理运用．