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    已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为
    13
    ，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一料种子，每次实验结果相互独立．假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值；
    （1）求随机变量ξ的数学期望
    （2）记“关于x的不等式 ξx2-ξx+1＞0的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）．
    分析：（1）由题意知ξ的可能取值为0，2，4，p（ξ=0）=
    C
    2
    4
    (
    1
    3
    )3(1-
    1
    3
    )2 =
    24
    81
    ．P（ξ=2）=
    c
    3
    4
    (
    1
    3
    )    3    (1-
    1
    3
    )+
    c
    1
    4
    (
    1
    3
    ) (1-
    1
    3
    )3=
    40
    81
    ．p（ξ=4）=
    C
    4
    4
    (
    1
    3
    )  4+
    C
    0
    4
    (1-
    1
    3
    )4=
    17
    81
    ，由此能求出随机变量ξ的数学期望．
    （2）由题意知：“不等式ξx2-ξx+1＞0的解集是实数R”为事件A．当ξ=0时，不等式化为1＞0，其解集是R，说明事件A发生；当ξ=2时，不等式化为2x2-2x+1＞0，△=-4＜0，所以解集是R，说明事件A发生；当ξ=4时，不等式化为4x2-4x+1＞0，其解集{x|x≠
    1
    2
    }，说明事件A不发生．由此能求出事件A发生的概率P（A）．
    解答：解：（1）由题意知ξ的可能取值为0，2，4，（2分）
    ∵“ξ=0”指的是实验成功2次，失败2次．（2分）
    ∴p（ξ=0）=
    C
    2
    4
    (
    1
    3
    )3(1-
    1
    3
    )2 =
    24
    81
    ．
    “ξ=2”指的是实验成功3次，失败1次或实验成功1次，失败3次．
    ∴P（ξ=2）=
    c
    3
    4
    (
    1
    3
    )    3    (1-
    1
    3
    )+
    c
    1
    4
    (
    1
    3
    ) (1-
    1
    3
    )3=
    40
    81
    ．
    “ξ=4”指的是实验成功4次，失败0次或实验成功0次，失败4次．
    ∴p（ξ=4）=
    C
    4
    4
    (
    1
    3
    )  4+
    C
    0
    4
    (1-
    1
    3
    )4=
    17
    81
    ，（6分）
    ∴Eξ=0×
    24
    81
    +2×
    40
    81
    +4×
    17
    81
    =
    148
    81
    ．
    故随机变量ξ的数学期望为
    148
    81
    ．（7分）
    （2）由题意知：“不等式ξx2-ξx+1＞0的解集是实数R”为事件A．
    当ξ=0时，不等式化为1＞0，其解集是R，说明事件A发生；
    当ξ=2时，不等式化为2x2-2x+1＞0，
    ∵△=-4＜0，所以解集是R，说明事件A发生；
    当ξ=4时，不等式化为4x2-4x+1＞0，其解集{x|x≠
    1
    2
    }，
    说明事件A不发生．（10分）
    ∴p（A）=p（ξ=0）+p（ξ=2）=
    24
    81
    +
    40
    81
    =
    64
    81
    ．（12分）
    点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题．对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．
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    （1）求随机变量ξ的数学期望
    （2）记“关于x的不等式 ξx2-ξx+1＞0的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）．

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