Question

如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=a，∠ABC=β．
（1）证明sina+cos2β=0；
（2）若AC=

3

DC，求β的值．

Answer 1

分析：（1）利用诱导公式可求得α=2β-

π

2

，进而利用诱导公式求得sinα=-cos2β，整理得sinα+cos2β=0．原式得证．
（2）根据正弦定理可求得sinβ=

3

sinα进而利用（1）中的结论求得sinβ-

3

(1-2sin2β)代入sinβ=

3

sinα即可求得sinβ，
进而求得β的值．

解答：解：（1）∵α=

π

2

-∠BAD=

π

2

-(π-2β)=2β-

π

2

∴sinα=sin(2β-

π

2

)=-cos2β，
即sinα+cos2β=0
（2）△ADC中由正弦定理

DC

sinα

=

AC

sin(π-β)

即

DC

sinα

=

AC

sinβ

则sinβ=

3

sinα
由（1）得sinβ=-

3

cos2β=-

3

(1-2sin2β)
即2

3

sin2β-sinβ-

3

=0
解得sinβ=

3

2

或sinβ=-

3

3

∵0＜β＜

π

2

∴sinβ=

3

2

∴β=

π

3

点评：本题主要考查了诱导公式化简求值，正弦定理．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．