Question

已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a²=b（b+c），则

a

b

的取值范围是（　　）

• A、（0，2）
• B、（1，2）
• C、（1，

  3

  ）
• D、（

  3

  ，2）

Answer 1

考点：余弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：运用正弦定理和二倍角的余弦公式及和差化积公式，结合三角形的内角可得A=2B，再取正弦，运用正弦定理，注意确定B的范围，即可得到取值范围．

解答： 解：由正弦定理，a²=b（b+c）即为
sin²A-sin²B=sinBsinC，

1-cos2A

2

-

1-cos2B

2

=sinBsinC，

1

2

（cos2B-cos2A）=sinBsinC，
sin（A+B）sin（A-B）=sinBsinC
即为sinCsin（A-B）=sinBsinC，
sin（A-B）=sinB，
由于A，B为三角形的内角，则有A-B=B，即A=2B，
sinA=sin2B=2sinBcosB，
由正弦定理可得，

a

b

=2cosB，
由0＜A=2B＜π可得0＜B＜

π

2

，
由0＜C=π-3B＜π，解得，B＜

π

3

．
故0＜B＜

π

3

，即有

1

2

＜cosB＜1．
则1＜

a

b

＜2．
故选：B．

点评：本题考查正弦定理的运用，考查三角函数的化简，考查二倍角公式及和差化积公式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．