Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为AB的中点，N为BB₁的中点，O为平面BCC₁B₁的中心．
（1）过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q（只写作法，不必证明）；
（2）求PQ的长．

Answer 1

分析：（1）连接ON，令AD与ON确定的平面为α，O、C、M三点确定的平面为β，由三个平面α，β和ABCD两两相交，故OQ是α与β的交线，连接OQ与AN交于P，与CM交于Q，则直线OPQ即为所求作的直线．
（2）由已知易得△APQ∽△OPN，且相似比为2，由此我们可以求出AP的值，再根据AQ=1，即可求出PQ的值．

解答：解：（1）连接ON，由ON∥AD知，AD与ON确定一个平面α．又O、C、M三点确定一个平面β（如图所示）．
∵三个平面α，β和ABCD两两相交，
有三条交线OP、CM、DA，其中交线DA与交线CM不平行且共面．
∴DA与CM必相交，记交点为Q，∴OQ是α与β的交线．
连接OQ与AN交于P，与CM交于Q，
故直线OPQ即为所求作的直线．
（2）在Rt△APQ中，易知AQ=1，又易知△APQ∽△OPN，
∴

AP

PN

=

AQ

NO

=2，AN=

5

2

，∴AP=

5

3

，
∴PQ=

AQ2+AP2

=

14

3

．

点评：本题考查的知识点是棱柱的结构特征及相似三角形的性质，其中利用公理3确定Q的位置是解答问题的关键．