Question

如图：直角三角形ABC中，AC⊥BC，AB=2，D是AB的中点，M是CD上的动点．
（1）若M是CD的中点，求

MA

•

MB

的值；
（2）求(

MA

+

MB

)•

MC

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据向量的线性运算，得

MA

=

MD

+

DA

且

MB

=

MD

-

DA

，因此

MA

•

MB

=

MD

2-

DA

2，再代入题中数据即可得到

MA

•

MB

的值；
（2）设MD=x，则MC=1-x，由三角形中线的性质化简得(

MA

+

MB

)•

MC

=2

MD

•

MC

=2x²-2x，接下来求二次函数y=2x²-2x在区间[0，1]上的最值，即可得到当x=

1

2

时，(

MA

+

MB

)•

MC

的最小值为-

1

2

．

解答：解：（1）∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，
∴CD=

1

2

AB=1，得MD=

1

2

CD=

1

2

∵

MA

=

MD

+

DA

，

MB

=

MD

+

DB

=

MD

-

DA

，
∴

MA

•

MB

=（

MD

+

DA

）（

MD

-

DA

）
=

MD

2-

DA

2=|

1

2

CD

|2-|

DA

|2=(

1

2

)2-12=-

3

4

．…（6分）
（2）设MD=x，则MC=1-x．其中0≤x≤1
∵MD是△MAB的中线，∴

MA

+

MB

=2

MD

，
得(

MA

+

MB

)•

MC

=2

MD

•

MC

=-2|

MD

|•|

MC

|=-2x（1-x）=2x²-2x，
∵2x²-2x=2（x-

1

2

）²-

1

2

∴当且仅当x=

1

2

时，2x²-2x的最小值为-

1

2

． …（12分）
即当x=

1

2

时，(

MA

+

MB

)•

MC

的最小值为-

1

2

．…（14分）

点评：本题给出直角三角形ABC斜边中线上的动点M，求向量数量积的最小值，着重考查了平面向量数量积的运算和二次函数在闭区间上的最值等知识点，属于中档题．