Question

已知两个命题r（x）：sinx+cosx＞m，s（x）：x²+mx+1＞0．如果对?x∈R，r（x）与s（x）有且仅有一个是真命题．求实数m的取值范围

{m|m≤-2或-

2

≤m＜2}

．

Answer 1

分析：先求出命题r（x）与s（x）成立的等价条件，利用r（x）与s（x）有且仅有一个是真命题．确定实数m的取值范围．

解答：解：∵sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)≥-

2

，
∴要使sinx+cosx＞m恒成立，则m＜-

2

，
即：r（x）：m＜-

2

．
若x²+mx+1＞0成立，则△=m²-4＜0，
解得-2＜m＜2，
即s（x）：-2＜m＜2．
若对?x∈R，r（x）与s（x）有且仅有一个是真命题，
若r（x）为真，s（x）为假，则

m＜- 2 m≥2或m≤-2

，解得m≤-2．
若r（x）为假，s（x）为真，则

m≥- 2 -2＜m＜2

，解得-

2

≤m＜2．
综上：m≤-2或-

2

≤m＜2．
故答案为：{m|m≤-2或-

2

≤m＜2}．

点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用函数的性质求出命题成立的等价条件是解决的关键．