Question

给出下列四个命题，其中错误的命题有（　　）个．
（1）将函数y=sin(2x+

π

3

)的图象向右平移

π

3

个单位，得到函数y=sin2x的图象；
（2）函数y=sin2x+cos2x在x∈[0，

π

2

]上的单调递增区间是[0，

π

8

]；
（3）设A、B、C∈(0，

π

2

)且sinA-sinC=sinB，cosA+cosC=cosB，则B-A等于-

π

3

；
（4）方程sin²x+2sinx+a=0有解，则a的取值范围是[-3，1]．
（5）在同一坐标系中，函数y=sinx与函数y=

x

2

的图象有三个交点．

A．3

B．2

C．1

D．0

Answer 1

分析：（1）根据函数的左加右减的原则即可求解平移后的函数解析式
（2）由y=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)，结合正弦函数的性质可求函数的单调区间
（3）由sinA-sinC=sinB，cosA+cosC=cosB，可得sinC=sinA-sinB，cosC=cosB-cosA，两边同时平方相加可求cos（B-A）=

1

2

结合sinA-sinC=sinB＞0可得A＞B，可求
（4）sin²x+2sinx=（sinx+1）²-1，结合正弦函数与二次函数的性质可求函数的值域，进而可求a的范围
（5）由于x=0时，两函数相交，当0＜x≤2时，有一个交点，当-2≤x＜0时，，有一个交点，当x＞2或x＜-2时两函数的图象没有交点，可判断

解答：解：（1）将函数y=sin(2x+

π

3

)的图象向右平移

π

3

个单位，得到函数y=sin（2x-

1

3

π）的图象；故（1）错误
（2）∵y=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)
令-

1

2

π≤2x+

π

4

≤

1

2

π可得，-

3π

8

≤x≤

π

8

∴函数y=sin2x+cos2x在x∈[0，

π

2

]上的单调递增区间是[0，

π

8

]；（2）正确
（3）由sinA-sinC=sinB，cosA+cosC=cosB，可得sinC=sinA-sinB，cosC=cosB-cosA，
两边同时平方相加可得1=2-2（cosAcosB+sinAsinB）=2-2cos（A-B）
∴cos（B-A）=

1

2

∵sinA-sinC=sinB＞0
∴sinA＞sinB
∴A＞B
∴B-A=

π

3

（3）正确
（4）∵sin²x+2sinx=（sinx+1）²-1∈[-1，3]
∵sin²x+2sinx+a=0有解，
-1≤-a≤3
∴-3≤a≤1
则a的取值范围是[-3，1]，（4）正确
（5）由于x=0时，两函数相交，
当0＜x≤2时，函数y=sinx与函数y=

x

2

的图象有一个交点，
当-2≤x＜0时，，函数y=sinx与函数y=

x

2

的图象有一个交点，
当x＞2或x＜-2时，|

x

2

|＞1，而sinx≤1，两函数的图象没有交点，即有3个交点，（5）正确
即错误的命题有1个
故选A

点评：本题主要考查了命题的真假关系的判断，解题的关键是熟练掌握基本知识，此类问题的具有一定的综合性