Question

已知向量

p

=(2cosωx+2sinωx，f(x))，

q

=(1，cosωx)，ω＞0且

p

∥

q

，函数f（x）图象上相邻两条对称轴之间的距离是2π．
（1）求ω值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）设函数g（x）=f（x+φ），φ∈（0，π），若g（x）为偶函数，求g（x）的最大值及相应的x值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的平行，通过向量的坐标运算，二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期求ω值；
（2）利用增函数的单调性直接求解函数f（x）的单调递减区间；
（3）设函数g（x）=f（x+φ），φ∈（0，π），求出g（x）的表达式，利用函数是偶函数，求出，然后求解g（x）的最大值及相应的x值．

解答：解：（1）∵

p

∥

q

，∴（2cosωx+2sinωx）cosωx-f（x）=0
得f（x）=（2cosωx+2sinωx）cosωx
=2cos²ωx+2sinωxcosωx
=1+cos2ωx+sin2ωx
=

2

sin(2ωx+

π

4

)+1…（3分）
由题设可知，函数f（x）的周期T=4π，则ω=

1

4

…（4分）
（2）由（1）得f(x)=

2

sin(

x

2

+

π

4

)+12kπ+

π

2

≤

x

2

+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，
解得4kπ+

π

2

≤x≤4kπ+

5π

2

，其中k∈Z
∴函数f（x）的单调减区间是[4kπ+

π

2

，4kπ+

5π

2

]（k∈Z）．…（7分）
（3）g(x)=f(x+φ)=

2

sin(

x+φ

2

+

π

4

)+1，∵g（x）为偶函数，
∴图象关于y轴为对称轴
将x=0代入，得sin(

φ

2

+

π

4

)=±1，则有

φ

2

+

π

4

=kπ+

π

2

⇒φ=2kπ+

π

2

又∵φ∈（0，π），∴φ=

π

2

，则g(x)=

2

sin(

x

2

+

π

2

)+1=

2

cos

x

2

+1…（10分）
当cos

x

2

=1，时，函数g（x）取得最大值

2

+1
此时

x

2

=2kπ⇒x=4kπ，其中k∈Z．…（12分）

点评：本题考查复合三角函数的单调性，三角函数的解析式的求法，三角函数的化简求值，考查计算能力转化思想．