Question

10．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 sin²$\frac{B+C}{2}$+cos2A=$\frac{1}{4}$，
（1）求A的值．
（2）若a=$\sqrt{3}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得：8cos²A+2cosA-3=0，可求cosA，结合A为锐角，即可解得A的值．
（2）由（1）可求sinA，由余弦定理cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$可得bc≤1，从而可求△ABC的面积S的最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵sin²$\frac{B+C}{2}$+cos2A=sin²（$\frac{π-A}{2}$）+cos2A=cos²$\frac{A}{2}$+cos2A=$\frac{1+cosA}{2}$+2cos²A-1=$\frac{1}{4}$，
∴可得：8cos²A+2cosA-3=0，
∴解得：cosA=$\frac{1}{2}$或-$\frac{3}{4}$，
∵A为锐角，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，可得A=$\frac{π}{3}$…6分
（2）由（1），A=$\frac{π}{3}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}bc}{4}$，
∵a=$\sqrt{3}$，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$⇒$\frac{1}{2}$⇒bc=c²+b²-3⇒3+bc=c²+b²≥2bc⇒ab≤3，
∴可得：△ABC的面积S的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．…12分

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的综合应用，属于基本知识的考查．