分析 (1)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得:8cos2A+2cosA-3=0,可求cosA,结合A为锐角,即可解得A的值.
(2)由(1)可求sinA,由余弦定理cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$可得bc≤1,从而可求△ABC的面积S的最大值.
解答 (本题满分为12分)
解:(1)∵sin2$\frac{B+C}{2}$+cos2A=sin2($\frac{π-A}{2}$)+cos2A=cos2$\frac{A}{2}$+cos2A=$\frac{1+cosA}{2}$+2cos2A-1=$\frac{1}{4}$,
∴可得:8cos2A+2cosA-3=0,
∴解得:cosA=$\frac{1}{2}$或-$\frac{3}{4}$,
∵A为锐角,
∴cosA=$\frac{1}{2}$,可得A=$\frac{π}{3}$…6分
(2)由(1),A=$\frac{π}{3}$,
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,可得:S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}bc}{4}$,
∵a=$\sqrt{3}$,
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$⇒$\frac{1}{2}$⇒bc=c2+b2-3⇒3+bc=c2+b2≥2bc⇒ab≤3,
∴可得:△ABC的面积S的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$.…12分
点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,考查了余弦定理,三角形面积公式,基本不等式的综合应用,属于基本知识的考查.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 一个流程图一定会有顺序结构 | B. | 一个流程图一定含有条件结构 | ||
C. | 一个流程图一定含有循环结构 | D. | 以上说法都不对 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | a<b<c | B. | a>b>c | C. | b<a<c | D. | b<c<a |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | a1+a101>0 | B. | a2+a100<0 | C. | a3+a100≤0 | D. | a51=0 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | d=2 | B. | d=$\sqrt{2}$ | C. | d∈[$\sqrt{2}$,2] | D. | d∈[1,$\sqrt{2}$] |
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