Question

若函数f（x）在定义域（-1，1）内可导，且f′（x）＜0；又对任意a、b∈（-1，1）且a+b=0时恒有f（a）+f（b）=0，
（1）判断函数奇偶性
（2）解不等式f（1-m）+f（1-m²）＞0．

Answer 1

分析：（1）由已知中f′（x）＜0，我们易得在区间（-1，1）上为减函数，结合a+b=0时恒有f（a）+f（b）=0，我们易得f（-x）=-f（x），进而得到答案．
（2）由（1）的结论，我们易根据函数的奇偶性及函数的单调性和定义域，构造出满足条件的不等式组，解不等式组即可得到答案．

解答：解：（1）∵f′（x）＜0；
∴f（x）在（-1，1）上是减函数（2分）
∵a、b∈（-1，1）且a+b=0，恒有f（a）+f（b）=0，
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数（5分）
（2）f（1-m）+f（1-m²）＞0?f（1-m）＞-f（1-m²）=f（m²-1）．（7分）
∴

1-m＜m2-1 -1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1

（10分）　　　
解得：1＜m＜

2

（13分）
所以原不等式的解集为(1，

2

)（14分）

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性和奇偶性的综合应用，在解答（2）时，易忽略函数的定义域为（-1，1），而错解为（-∞，-2）∪（1，+∞）．