Question

19．已知实数a＞0，命题p：?x∈R，|sinx|＞a有解；命题q：?x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，x²+ax-1≥0恒成立．
（1）写出?q；　　　　　　　　
（2）若p且q为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先，命题p为特称命题，其否定为全称命题，直接结合含有一个量词的否定进行处理即可；
（2）先判断所给命题的真假，然后，根据“且”构成的复合命题的真假判断方法进行求解．

解答 解：（1）命题q：?x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，x²+ax-1≥0恒成立，
∴?q：?x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，x²+ax-1＜0成立
（2）∵p且q为真，
∴p和q都为真，
∴命题p：?x∈R，|sinx|＞a有解为真命题，
则a∈（0，1），①
∵命题q：?x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，x²+ax-1≥0恒成立，
∴a≥-x+$\frac{1}{x}$，
设f（x）≥-x+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0恒成立，
∴f（x）单调递减，
∴f（x）_max=f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴a≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，②
由①②，可得a的取值范围为[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）

点评 本题重点考查了简单命题的真假判断，复合命题的真值表应用，注意“且”的含义，理解全称命题和特称命题的否定方式和方法，属于中档题．