Question

如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE=CD，若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量

AP

=λ

AB

+μ

AE

，则λ+μ的最小值为

 

，λ+μ 的最大值为

 

．

Answer 1

考点：向量加减混合运算及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，建立直角坐标系．不妨设

AB

=（1，0），

AE

=（-1，1），

AP

=（cosθ，sinθ）．利用向量

AP

=λ

AB

+μ

AE

，可得λ+μ=2sinθ+cosθ，再利用两角和差的正弦公式及其有界性即可得出．

解答： 解：如图所示，建立直角坐标系．
不妨设

AB

=（1，0），

AE

=（-1，1），

AP

=（cosθ，sinθ），
∵向量

AP

=λ

AB

+μ

AE

，
∴（cosθ，sinθ）=λ（1，0）+μ（-1，1）=（λ-μ，μ），
∴

λ-μ=cosθ μ=sinθ

.θ∈[0，

π

2

]．
∴λ+μ=2sinθ+cosθ=

5

sin(θ+φ)≤

5

，
当

AP

=

AB

时，λ=1，μ=0，此时λ+μ取得最小值．
因此λ+μ的最小值是1；最大值为

5

．
故答案分别为：1，

5

．

点评：本题考查了向量的坐标运算、两角和差的正弦公式及其有界性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题．