Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n+S_n=4．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）是否存在正整数k，使成立．

Answer 1

（1）证明：由题意，a_n+S_n=4，a_n+1+S_n+1=4，两式相减得
当n=1时，a₁+S₁=2a₁=4，得a₁=2．
∴数列{a_n}是以首项a₁=2，公比为的等比数列．
（2）解：由（1）知
∴等价于
∴
∴
∴
∵k是正整数，
∴2^k-1正整数，这与相矛盾，
故不存在这样的k，使不等式成立．
分析：（1）根据a_n+S_n=4，a_n+1+S_n+1=4，两式相减，即可得数列{a_n}的通项公式；
（2）先利用等比数列的求和公式，再利用成立，得出结论，从而可确定是否存在正整数k，使成立．
点评：本题考查等比数列的通项与求和，考查不等式成立问题．其中第一问涉及到已知前n项和为S_n求数列{a_n}的通项公式，掌握常用方法是关键．