Question

6．如上图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D₁E与A₁D所成角的大小是90°，若D₁E⊥EC，则直线A₁D与平面D₁DE所成的角为30°．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，设E（1，t，0），0≤t≤2，分别求出$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（1，t，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-1，0，-1），由$\overrightarrow{{D}_{1}E}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=0，能求出直线D₁E与A₁D所成角的大小；$\overrightarrow{{D}_{1}E}$•$\overrightarrow{EC}$=0，能求出AE的长，即可求出直线A₁D与平面D₁DE所成的角．

解答 解：∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），D₁（0，0，1），A（1，0，0），A₁（1，0，1），C（0，2，0），
设E（1，t，0），0≤t≤2，
则$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（1，t，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-1，0，-1），
∴$\overrightarrow{{D}_{1}E}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=-1+0+1=0，
∴直线D₁E与A₁D所成角的大小是90°．
∵$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（1，t，-1），$\overrightarrow{EC}$=（-1，2-t，0），D₁E⊥EC，
∴$\overrightarrow{{D}_{1}E}$•$\overrightarrow{EC}$=-1+t（2-t）+0=0，
解得t=1，∴AE=1．
平面D₁DE的法向量为$\overrightarrow{EC}$=（-1，1，0），cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}D}$，$\overrightarrow{EC}$＞=$\frac{-1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴直线A₁D与平面D₁DE所成的角为30°．
故答案为90°，30°．

点评 本题考查异面直线所成角、线面角的大小的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．