Question

已知圆M：（x-3）²+y²=9，过圆心M的直线与抛物线y²=12x和圆M的交点自上而下依次为点A，B，C，D，则

AB

•

CD

的值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,圆的标准方程

专题：平面向量及应用

分析：设出点A、B、C、D的坐标，然后，联立方程组，写出向量的响应坐标形式，然后，求解即可．

解答： 解：如图所示：
圆M的方程为：（x-3）²+y²=9，则其直径长|BC|=6，圆心为P（3，0），
设l的方程为ky=x-3，即x=ky+3，代入抛物线方程得：y²=12ky+36，
∴y²-12ky-36=0，
设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=12k，y₁y₂=-36，
设B（x₃，y₃），C（x₄，y₄），
将直线方程x=ky+3代人圆的方程（x-3）²+y²=9，得
y=±

3

k2+1

，x=±

3k

k2+1

+3，
∵

PB

=(x3-3，y3)，

PD

=(x2-3，y2)，

PC

=(x4-3，y4)，

PA

=(x1-3，y1)，
∴

AB

•

CD

=（

PB

-

PA

）•（

PD

-

PC

）
=

PB

•

PD

-

PB

•

PC

-

PA

•

PD

+

PA

•

PC

=（x₁-3）（x₃-3）+y₁y₃-（x₃-3）（x₄-3）+y₃y₄-（x₁-3）（x₂-3）-y₁y₂+（x₁-3）（x₄-3）+y₁y₄=9．
故答案为：9．

点评：本题考查直线与圆、抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，应用向量的坐标表示是关键，属于中档题．