Question

7．（1）求函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+2，-2≤0＜0}\\{2cosx（0≤x≤\frac{π}{2}）}\end{array}\right.$的图象与x轴所围成的封闭图形的面积．
（2）求曲线y=x²，y=x及y=2x所围成的平面图形的面积．

Answer 1

分析 利用定积分求曲边图形的面积解决该问题．关键要弄清楚积分的区间与被积函数，然后通过微积分基本定理求出所求的面积．

解答 解：（1）${∫}_{-2}^{0}$（x+2）dx+${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$2cosxdx=（$\frac{1}{2}$x²+2x）|${\;}_{-2}^{0}$+2sinx${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$=0-（$\frac{1}{2}×$4-2×2）+2=4，
（2）曲线y=x²，y=x及y=2x所围成的平面图形的面积如图所示：
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=x}\end{array}\right.$，得A（1，1），又由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=2x}\end{array}\right.$，得B（2，4），
所以S_阴影=${∫}_{0}^{1}$（2x-x）dx+${∫}_{1}^{2}$（2x-x²）dx=$\frac{1}{2}$x²|${\;}_{0}^{1}$+（x²-$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{1}^{2}$=$\frac{7}{6}$．
所求平面图形面积为$\frac{7}{6}$．

点评 本题考查定积分在求曲边图形面积中的应用，考查积分与导数之间的关系，求解时要确定出被积函数的原函数．考查学生的运算能力．