Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，定义在R上的奇函数g（x）过点（-1，3）且g（x）=f（x-1），则f（2007）+f（2008）=________．

Answer 1

-3
分析：由题意：“g（x）=f（x-1）”以及f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的奇函数，可得f（t+4）=f（t），可知f（x），是周期为4函数，则f（2007）+f（2008）=-g（0）+g（1），即可计算出结果．
解答：∵f（x）为R上的偶函数，∴f（-x）=f（x）
∵g（x）为R上的奇函数，∴g（-x）=-g（x）
∵g（x）=f（x-1）
?g（-x）=f（-x-1）
?-g（x）=f（-x-1）
?g（x）=-f（-x-1）
∴f（x-1）=-f（-x-1）
令-x-1=t，则：x=-t-1
∴f（-t-2）=-f（t）…（1）
再令-t-2=u，则-u=t+2
而偶函数f（x）满足f（u）=f（-u）
即，f（-t-2）=f（t+2）…（2）
由（1）（2）得到：f（-t-2）=-f（t）=f（t+2）
∴f（t+2）=-f（t）…（3）
∴f[（t+2）+2]=-f（t+2）=-[-f（t）]=f（t）
即，f（t+4）=f（t）
∴偶函数f（x）也是以4为周期的周期函数
f（2007）=f（3+4×501）=f（3）
f（2008）=f（0+4×502）=f（0）
由（3）得到，f（3）=-f（1）
∴f（2007）+f（2008）=f（3）+f（0）=-f（1）+f（0）
而，g（x）=f（x-1）
令x=0，那么：g（0）=f（0-1）=f（-1）=f（1）
所以，-f（1）=0
令x=1，那么：g（1）=f（1-1）=f（0）
所以，f（2007）+f（2008）=-g（0）+g（1）
因为在R上的奇函数g（x）必定满足：g（-x）=-g（x）
即，g（x）+g（-x）=0
所以，g（0）+g（-0）=0
则，g（0）=0
已知g（x）过点（-1，3），即：g（-1）=3
所以：g（1）=-g（-1）=-3
综上：f（2007）+f（2008）=-3
故答案为-3．
点评：本题考查抽象函数的周期性、奇偶性，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．