Question

已知，．
（1）若，求x的值；
（2）若，求f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x值；
（3）令，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

解：（1），所以=0，，
2sin²x-sin2x=0即cos2x+sin2x=0，tan2x=，，所以x=；
（2）由（1）可知：=cos2x+sin2x=2sin（2x+），所以函数的最大值为：2，此时2x+=+2kπ，k∈Z；
所以x=kπ，k∈Z；
（3）因为=2sin（2x++）=2cos2x，
因为g（-x）=2cos（-2x）=2cos2x=g（x），所以函数是偶函数．
分析：（1）通过，得到数量积为0，化简函数表达式，即可求x的值；
（2）通过数量积求出函数的表达式，然后化简为一个角的一个三角函数的形式，然后求f（x）的最大值及使f（x）取得最大值的x值；
（3）通过，求出函数的表达式，利用奇偶性的定义直接判断函数g（x）的奇偶性，即可．
点评：本题是中档题，通过向量的数量积，考查函数的基本性质，最大值，奇偶性的判断，函数值的求法，考查计算能力，常考题型．