Question

已知f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（4）=1，对任意x₁，x₂（0，+∞），都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），当x∈（0，1）时，f（x）＜0．
（1）求f（1）；              
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

Answer 1

分析：（1）由已知中f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），令x₁=x₂=1，可得f（1）的值；
（2）由f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），可得f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），结合x∈（0，1）时，f（x）＜0．及增函数的定义可证得结论
（3）令x1=x2=4，可得f（16）=2，x1=4，x2=16，可得f（64）=3，结合f（x）的定义域为（0，+∞），f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），及（2）中函数的单调性，可将不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3转化为一个关于x的不等式组．本题考查的知识点是抽象函数及其应用

解答：解：（1）∵对任意x₁，x₂（0，+∞），都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x₂=1，
f（1•1）=f（1）+f（1），
则f（1）=0（2分）
（2）设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∵对任意x₁，x₂（0，+∞），都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴则f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

）
∵0＜x₁＜x₂，
∴0＜

x1

x2

＜1，又当x∈（0，1）时，f（x）＜0，∴f（x₁）-f（x₂）=f(

x1

x2

)＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数（7分）
（3）令x₁=x₂=4，则f（16）=f（4）+f（4）=2，
令x₁=4，x₂=16，则f（64）=f（4）+f（16）=3（9分）
∴f（3x+1）+f（2x-6）≤3=f（64）
结合f（x）的定义域为（0，+∞），f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）恒成立
∴

3x+1＞0 2x-6＞0 (3x+1)(2x-6)≤64

∴x∈（3，5]（12分）

点评：本题考查的是抽象函数及其应用，函数的单调性证明，以及赋值法的应用，属于中档题，在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、作差法以及赋值法等知识．值得同学们体会和反思．