Question

如果有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m为正整数）满足条件a₁=a_m，a₂=a_m-1，…，a_m=a₁，即a_i=a_m-i+1（i=1，2，…，m），我们称其为“对称数列”．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．
（1）设{b_n}是7项的“对称数列”，其中b₁，b₂，b₃，b₄是等差数列，且b₁=2，b₄=11．依次写出{b_n}的每一项；
（2）设{c_n}是49项的“对称数列”，其中c₂₅，c₂₆，…，c₄₉是首项为1，公比为2的等比数列，求{c_n}各项的和S；
（3）设{d_n}是100项的“对称数列”，其中d₅₁，d₅₂，…，d₁₀₀是首项为2，公差为3的等差数列．求{d_n}前n项的和S_n（n=1，2，…，100）．

Answer 1

分析：（1）由b₁，b₂，b₃，b₄为等差数列，且b₁=2，b₄=11，先求b₁，b₂，b₃，b₄，然后由对称数列的特点可写出数列的各项．
（2）由c₂₅，c₂₆，…，c₄₉是首项为1，公比为2的等比数列，先求出c₂₅，c₂₆，…，c₄₉通项，结合对称数列的对应项相等的特点，可知前面的各项，结合等比数列的求和公式可求出数列的和
（3）由d₅₁，d₅₂，…，d₁₀₀是首项为2，公差为3的等差数列，可求该数列d₅₁，d₅₂，…，d₁₀₀的通项，由对称数列的特点，结合等差数列的特点，求数列的和

解答：解：（1）设数列{b_n}的公差为d，则b₄=b₁+3d=2+3d=11，解得d=3，
∴?数列{b_n}为2，5，8，11，8，5，2．
（2）S=c₁+c₂+…+c₄₉=2（c₂₅+c₂₆+…+c₄₉）-c₂₅=2（1+2+2²+…+2²⁴）-1=2（2²⁵-1）-1=2²⁶-3=67108861．
（3）d₅₁=2，?d₁₀₀=2+3×（50-1）=149．
由题意得d₁，d₂，，d₅₀是首项为149，公差为-3的等差数列．
当n≤50时，S_n=d₁+d₂+…+d_n=149n+

n(n-1)

2

(-3)=-

3

2

n2+

301

2

n．
当51≤n≤100时，S_n=d₁+d₂+…+d_n=S₅₀+（d₅₁+d₅₂+…+d_n）
=3775+2•(n-50)+

(n-50)(n-51)

2

×3=

3

2

n2-

299

2

n+7500
综上所述，Sn=

- 3 2 n2+ 301 2 n ，1≤n≤50 3 2 n2- 299 2 n+7500 ，51≤n≤100

点评：本题以新定义对称数列为切入点，运用的知识都是数列的基本知识：等差数列的通项及求和公式，等比数列的通项及求和公式，还体现了分类讨论在解题中的应用．