Question

14．过点P（1，4）作圆C：（x-2）²+（y-1）²=1的两条切线，切点为A、B．
（Ⅰ）求PA和PB的长，并求出切线方程；
（Ⅱ）求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出PC，利用勾股定理求PA和PB的长，分类讨论求出切线方程；
（Ⅱ）求出以P（1，4）、C（2，1）为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程．

解答 解：（Ⅰ）PC=$\sqrt{（2-1）^{2}+（1-4）^{2}}$=$\sqrt{10}$
∴PA=PB=$\sqrt{P{C}^{2}-1}$=3    
斜率不存在时，切线方程：x-1=0，
斜率存在时，设方程为y-4=k（x-1），即kx-y-k+4=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|2k-1-k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=-$\frac{4}{3}$
∴切线方程为4x+3y-16=0，
综上所述，切线方程为4x+3y-16=0或x-1=0；
（Ⅱ）以P（1，4）、C（2，1）为直径的圆的方程为（x-1.5）²+（y-2.5）²=2.5，
将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程为x-3y+2=0

点评 本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．