Question

已知函数y=f（x）=x³+px²+qx的图象与x轴切于非原点的一点，那么p、q的关系为    ．

Answer 1

【答案】分析：由函数与x轴相切于一点得：y=0与y=f（x）=x³+px²+qx联立得到p、q的等式；再由该点是切点可得在此点处的导数为0，由此关系也可以得到关于p，q的方程，将上述两式联立可解得切点的坐标，代入①或②中任一式，即可得到两参数的关系．
解答：解：因为函数y=f（x）=x³+px²+qx的图象与x轴切于非原点的一点
令y=f（x）=x³+px²+qx=0由于x≠0，可得x²+px+q=0  ①
又f′（x）=3x²+2px+q，令导数为0得3x²+2px+q=0   ②
由②-①得2x²+px=0，可得切点坐标为代入①得
  p²-4q=0．
故答案为：p²-4q=0．
点评：考查学生利用导数研究函数单调性及极值的能力，本题求解的关键是看出切点的两个作用，一个是此点处函数值为0，一个是导数值也为0，把问题进行正确、全面的转化是解题成功的保证．