Question

20．已知函数f（x）=x²-5x+1，g（x）=e^x．
（1）求函数y=$\frac{f（x）}{g（x）}$的极小值；
（2）设函数y=f′（x）+a•g（x）（a∈R），讨论函数在（-∞，4]上的零点的个数；
（3）若存在实数t∈[0，2]，使得对任意x∈[1，m]，不等式[xf（x）+t]•g（x）≤x恒成立，求正整数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）令h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=$\frac{{x}^{2}-5x+1}{{e}^{x}}$（x∈R），利用导数研究其单调性极值即可得出；
（2）对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
（3）不等式[xf（x）+t]•g（x）≤x，化为[x（x²-5x+1）+t]•e^x≤x．由存在实数t∈[0，2]，使得对任意x∈[1，m]，不等式[xf（x）+t]•g（x）≤x恒成立，?存在实数t∈[0，2]，使得对任意x∈[1，m]，t≤$\frac{x}{{e}^{x}}$-（x³-5x²+x）?使得对任意x∈[1，m]，0≤$\frac{x}{{e}^{x}}$-（x³-5x²+x），化为e^x（x²-5x+1）-1≤0．利用导数研究其单调性极值即可得出．

解答 解：（1）令h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=$\frac{{x}^{2}-5x+1}{{e}^{x}}$（x∈R），则h′（x）=$\frac{（2x-5）{e}^{x}-（{x}^{2}-5x+1）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{-（x-1）（x-6）}{{e}^{x}}$，
令h′（x）=0，解得x=1，6．列出表格：

x	（-∞，1）	1	（1，6）	6	（6，+∞）
	-	0	+	0	-
h（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

由表格可知：当x=1时，函数h（x）取得极小值，h（1）=$\frac{-3}{e}$．
（2）令u（x）=f′（x）+a•g（x）=（2x-5）+ae^x，u′（x）=2+ae^x，
①当a≥0时，u′（x）＞0，函数u（x）在（-∞，4]上单调递增，
又x→-∞时，u（x）→-∞，u（4）=3+ae⁴＞0，因此函数u（x）有且只有一个零点．
②当a＜0时，令u′（x）=0，解得x₀=$ln（-\frac{2}{a}）$．
当a＜-$\frac{2}{{e}^{4}}$时，x₀＜4．x＜x₀，u′（x）＞0，函数u（x）在（-∞，x₀）上单调递增；x₀＜x＜4时，u′（x）＜0，函数u（x）在（-∞，x₀）上单调递减．此时x₀为函数u（x）的极大值点，u（x₀）=2x₀-7=$2ln（-\frac{2}{a}）$-7．
当x₀=$\frac{7}{2}$时，u（x₀）=0，此时函数在（-∞，4]上有且只有一个零点$\frac{7}{2}$．
当x₀＜$\frac{7}{2}$时，u（x₀）＜0，此时函数u（x）在（-∞，4]上无零点．
当$\frac{7}{2}$＜x₀＜4时，u（x₀）＞0，此时函数在（-∞，x₀）上有且只有一个零点，由于u（4）=3+ae⁴．
③当a≤$-\frac{3}{{e}^{4}}$时，u（4）≤0时，此时函数在（x₀，4]上有且只有一个零点；
当$-\frac{3}{{e}^{4}}$＜a＜$-\frac{2}{{e}^{4}}$时，u（4）＞0时，此时函数在（x₀，4]上无零点．
当a=-$\frac{2}{{e}^{4}}$时，x₀=4．u′（x）＞0，此时函数u（x）在（-∞，4）上单调递增，且u（0）=-5+a＜0，u（4）=3+ae⁴＞3-2=1＞0，∴此时存在一个零点．
当-$\frac{2}{{e}^{4}}$＜a＜0时，x₀＞4．u′（x）＞0，此时函数u（x）在（-∞，4]上单调递增，且u（0）=-5+a＜0，u（4）=3+ae⁴＞3-2=1＞0，∴此时存在一个零点．
（3）不等式[xf（x）+t]•g（x）≤x，化为[x（x²-5x+1）+t]•e^x≤x．（*）
∵存在实数t∈[0，2]，使得对任意x∈[1，m]，不等式[xf（x）+t]•g（x）≤x恒成立，
∴（*）?存在实数t∈[0，2]，使得对任意x∈[1，m]，t≤$\frac{x}{{e}^{x}}$-（x³-5x²+x）．
∴（*）?使得对任意x∈[1，m]，0≤$\frac{x}{{e}^{x}}$-（x³-5x²+x），化为e^x（x²-5x+1）-1≤0．
令v（x）=e^x（x²-5x+1）-1，x∈[1，m]．
v′（x）=e^x（x²-3x-4）=e^x（x-4）（x+1）．
令v′（x）＞0，解得x＞4，此时函数v（x）单调递增；令v′（x）＜0，解得1≤x＜4，此时函数v（x）单调递减．
∴当x=4时，函数v（x）取得极小值，v（4）=-3e⁴-1＜0，
又v（1）=-3e-1＜0，v（5）=e⁵-1＞0，
因此整数m的最大值为4．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．