Question

已知函数，.
（1）当时，证明：；
（2）若，求k的取值范围.

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）(－∞，0].

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、不等式的基本性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力，考查学生的函数思想.第一问，先将转化为，先得到表达式，对求导，利用“单调递增；单调递减”解不等式求函数的单调区间，利用函数的单调性确定最小值所在的位置；第二问，将转化为，令F(x)＝f(x)－g(x)对f(x)求导，由于的正负不明显，所以进行二次求导，二次求导后得到G¢(x)＝e^x－k，只需讨论k的正负，通过的单调性，求出的最值，来判断的正负，来判断的单调性，从而求的最值.
（1）当k＝1时，设h(x)＝f(x)－g(x)＋＝e^x－x－1，h¢(x)＝e^x－1． 1分
当x∈(－∞，0)时，h¢(x)＜0，h(x)单调递减；
当x∈(0，＋∞)时，h¢(x)＞0，h(x)单调递增．
所以h(x)≥h(0)＝0．
故f(x)≥g(x)－．           4分
（2）设F(x)＝f(x)－g(x)＝e^x－x²－x－1，则F¢(x)＝e^x－kx－1．
设G(x)＝e^x－kx－1，则G¢(x)＝e^x－k．       6分
（1）若k≤0时，则G¢(x)＞0，G(x)单调递增，
当x∈(－∞，0)时，G(x)＜G(0)＝0，即F¢(x)＜0，F(x)单调递减；
当x∈(0，＋∞)时，G(x)＞G(0)＝0，即F¢(x)＞0，F(x)单调递增．
故F(x)≥F(0)＝0，此时f(x)≥g(x)．       9分
（2）若k＞0，则
当x∈(－∞，－)时，e^x－1＜0，－x²－x＝－x(kx＋2)＜0，
从而F(x)＝e^x－1－x²－x＜0，这时f(x)≥g(x)不成立．   11分
综上，k的取值范围是(－∞，0]．        12分