Question

函数f(x)＝－ax²＋4x＋1的定义域为[－1，2]，

(1)若a＝2，求函数f(x)的值域；

(2)若a为非负常数，且函数f(x)是[－1，2]上的单调函数，求a的范围及函数f(x)的值域．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)当a＝2时，f(x)＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3　　2分 　　当x∈[－1，1]时，f(x)单调递减，当x∈[－1，2]时，f(x)单调递增， 　　f(x)max＝f(1)＝3，又∵f(－1)＝－5，f(2)＝1，∴f(x)min＝f(－1)＝－5， 　　∴f(x)的值域为[－5，3]　　6分 　　(2)当a＝0时，f(x)＝4x＋1，在[－1，2]内单调递增，∴值域为[－3，9]　　7分 　　当a＞0时，f(x)＝　　8分 　　又f(x)在[－1，2]内单调　∴解得0＜a≤1 　　综上：0≤a≤1　　10分 　　当0≤a≤1，f(x)在[－1，2]内单调递增，∴值域为[－a－3，－4a＋9] 　　f(x)min＝f(－1)＝－a－3，f(x)max＝f(2)＝－4a＋9，∴值域为[－a－3，－4a＋9] 　　∴a的取值范围是[0，1]，f(x)值域为[－a－3，－4a＋9]　　12分