Question

已知直线l：X-y+1=0，⊙O：x²+y²=2上的任意一点P到直线l的距离为d．当d取得最大时对应P的坐标（m，n），设g（x）=mx+

n

x

-2lnx．
（1）求证：当x≥1，g（x）≥0恒成立；
（2）讨论关于x的方程：mx+

n

x

-g(x)=2x3-4ex2+tx根的个数．

Answer 1

分析：首先（1）求证函数恒成立的问题，可以根据求导函数来判断函数的单调性，求得最值，然后直接求得结果．
（2）讨论关于x的方程根的个数可以求导函数，然后判断其单调性后，分段讨论在各个区间根的情况．

解答：解：（1）由题意得P（1，-1），
∴m=1，n=-1∴g(x)=mx+

n

x

-2lnx=x-

1

x

-2lnx
∴g′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=

x2-2x+1

x2

=

(x-1)2

x2

≥0，
∴g（x）在[1，+∞）是单调增函数，
∴g（x）≥g（1）=1-1-2ln1=0对于x∈[1，+∞）恒成立．
（2）方程mx+

n

x

-g(x)=2x3-4ex2+tx；
∴2lnx=2x³-4ex²+tx
∵x＞0，∴方程为

2lnx

x

=2x2-4ex+t
令L(x)=

2lnx

x

，H（x）=2x²-4ex+t，
∵L′(x)=2

1-lnx

x2

，当x∈（0，e）时，L′（x）≥0，
∴L′（x）在（0，e]上为增函数；x∈[e，+∞）时，L′（x）≤0，
∴L′（x）在[0，e）上为减函数，
当x=e时，L(x)max=L(e)=

2

e

H（x）=2x²-4ex+t=2（x-e）²+t-2e²，
∴可以分析①当t-2e2＞

2

e

，即t＞2e2+

2

e

时，方程无解．
②当t-2e2=

2

e

，即t=2e2+

2

e

时，方程有一个根．
③当t-2e2＜

2

e

，即t＜2e2+

2

e

时，方程有两个根．

点评：此题主要考查函数恒成立的问题的证明及根存在性及根个数的判断问题，其中应用到用导函数求单调性极值的思想，有一定的计算量，属于综合性试题．