分析 (1)推导出AB∥EF,CD∥HE,AB⊥BC,BC⊥DC,BC⊥EF,BC⊥EH,由此能证明BC⊥平面EFGH.
(2)作$\overrightarrow{Cz}∥\overrightarrow{BA}$,以C为原点,CD为x轴,CB为y轴,Cz为z轴,建立空间直角坐标系C-xyz,利用向量法能求出二面角B-AD-C的正弦值.
解答 证明:(1)∵AB∥平面EFGH,
又∵AB?平面ABD,平面ABD∩平面EFGH=EF,
∴AB∥EF,同理CD∥HE,
∵$AB=\sqrt{6},BC=\sqrt{3},AC=3$,
∴AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC,
同理BC⊥DC,
∴BC⊥EF,同理BC⊥EH,
又∵EF,EH是平面EFGH内的两相交直线,
∴BC⊥平面EFGH.
(2)由(1)及异面直线AB,CD互相垂直知,直线AB,BC,CD两两垂直,
作$\overrightarrow{Cz}∥\overrightarrow{BA}$,以C为原点,CD为x轴,CB为y轴,Cz为z轴,建立空间直角坐标系C-xyz,如图所示
则$C(0,0,0),D(1,0,0),B(0,\sqrt{3},0),A(0,\sqrt{3},\sqrt{6})$,
∵x轴?平面ACD,∴平面ACD的一个法向量可设为$\overrightarrow n=(0,y,1)$,
∵$\overrightarrow{DA}=(-1,\sqrt{3},\sqrt{6})$,∴$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow n=0+\sqrt{3}y+\sqrt{6}=0$
,得:$y=-\sqrt{2}$,即$\overrightarrow n=(0,-\sqrt{2},1)$,
又∵z轴∥平面ABD,∴平面ABD的一个法向量可设为$\overrightarrow m=(x,1,0)$,
∴$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow m=-x+\sqrt{3}=0$,得$x=\sqrt{3}$,即$\overrightarrow m=(\sqrt{3},1,0)$,
设二面角B-AD-C的大小为θ,
那么$|cosθ|=\frac{|\overrightarrow n•\overrightarrow m|}{|\overrightarrow n||\overrightarrow m|}=\frac{{\sqrt{2}}}{{2\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$,
∴$sinθ=\frac{{\sqrt{30}}}{6}$,
∴二面角B-AD-C的正弦值为$\frac{{\sqrt{30}}}{6}$.
点评 本题考查线面垂直的证明,考查二面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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A. | $\sqrt{3}$ | B. | 1 | C. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | D. | 2 |
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A. | $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$ | B. | $\frac{4}{3}$ | C. | $\frac{{\sqrt{21}}}{3}$ | D. | $\frac{7}{3}$ |
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