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已知定义域R上的二次函数f(x)的最小值为0,且f(1+x)=f(1-x),直线y=4(x-1)被f(x)的图象截得的弦长为4
17
,求f(x)的解析式.
分析:由题意可设f(x)=a(x-1)2(a>0),联立直线与抛物线方程并消掉y可得x的二次方程,利用韦达定理、弦长公式可得关于a的方程,解出a即可得到f(x).
解答:解:由f(1+x)=f(1-x),得f(x)的图象的对称轴为x=1,再由f(x)的最小值为0,设f(x)=a(x-1)2(a>0),
y=4(x-1)
y=a(x-1)2
得,ax2-(2a+4)x+a+4=0,
设所截弦的端点为(x1,y1),(x2,y2),
x1+x2=
2a+4
a
x1x2=
a+4
a

弦长4
17
=
1+42
|x1-x2|=
17
(
2a+4
a
)
2
-4•
a+4
a
,解得a=1,
∴f(x)=(x-1)2
点评:本题考查直线与抛物线的位置关系,韦达定理、弦长公式是解决该类题目常用知识,要熟练掌握,解决本题的关键是根据条件设出函数的顶点式解析式.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

18、已知m<9,给出如下两个命题:
p:二次函数y=x2+(m-7)x+1在定义域R上不存在零点;
q:三次函数y=-x3+3x在开区间(m-9,9-m)上存在最大值与最小值.
若命题“p或q”为真命题,命题“p且q”为假命题,求实数m的范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为“局部奇函数”.
(Ⅰ)已知二次函数f(x)=ax2+2x-4a(a∈R),试判断f(x)是否为“局部奇函数”?并说明理由;
(Ⅱ)若f(x)=2x+m是定义在区间[-1,1]上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)若f(x)=4x-m•2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为“局部奇函数”.
(Ⅰ)已知二次函数f(x)=ax2+2x-4a(a∈R),试判断f(x)是否为“局部奇函数”?并说明理由;
(Ⅱ)若f(x)=2x+m是定义在区间[-1,1]上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)若f(x)=4x-m2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知m<9,给出如下两个命题:
p:二次函数y=x2+(m-7)x+1在定义域R上不存在零点;
q:三次函数y=-x3+3x在开区间(m-9,9-m)上存在最大值与最小值.
若命题“p或q”为真命题,命题“p且q”为假命题,求实数m的范围.

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