Question

将3封不同的信投进A、B、C、D这4个不同的信箱、假设每封信投入每个信箱的可能性相等．
（Ⅰ）求这3封信分别被投进3个信箱的概率；
（Ⅱ）求恰有2个信箱没有信的概率；
（Ⅲ）求A信箱中的信封数量的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）3封不同的信投进A、B、C、D这4个不同的信箱，事件总数为4³，而这3封信分别被投进3个信箱的种数为C₄³A₃³，根据古典概型的概率公式计算即可得到答案；
（II）恰有2个信箱没有信的事件总数为C₄²C₃²A₂²，然后根据古典概型的概率公式计算即可得到答案；
（III）设信箱A中的信封数为ζ，则ζ=0，1，2，3．然后分别计算出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式进行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）这3封信分别被投进3个信箱的概率为
P₁=

C 3 4 A 3 3

43

=

3

8

．（4分）
（Ⅱ）恰有2个信箱没有信的概率为
P₂=

C 2 4 C 2 3 A 2 2

43

=

9

16

．（8分）
（Ⅲ）设信箱A中的信封数为ζ，则ζ=0，1，2，3．
∵P（ζ=0）=

33

43

=

27

64

，P（ζ=1）=

C 1 3 •32

43

=

27

64

，
P（ζ=2）=

C 2 3 •3

43

=

9

64

，P（ζ=3）=

C 3 3

43

=

1

64

．
∴ζ的分布列为

ζ	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

∴Eξ=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

．（13分）

点评：本题主要考查了等可能事件的概率问题，以及利用古典概型的概率公式计算概率和分布列和数学期望等知识，属于中档题．