Question

【题目】设f（x）=xex（e为自然对数的底数），g（x）=（x+1）2 ．
（I）记 ，讨论函F（x）单调性；
（II）令G（x）=af（x）+g（x）（a∈R），若函数G（x）有两个零点．
（i）求参数a的取值范围；
（ii）设x1 ， x2是G（x）的两个零点，证明x1+x2+2＜0．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）F（x）= = ，（x≠﹣1）， F′（x）= = ，
∴x∈（﹣∞，﹣1）时，F′（x）＜0，F（x）递减，
x∈（﹣1，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增；
（Ⅱ）由已知，G（x）=af（x）+g（x）=axex+（x+1）2 ，
G′（x）=a（x+1）ex+2（x+1）=（x+1）（aex+2），
（i）①a=0时，G（x）=（x+1）2 ， 有唯一零点﹣1，
②a＞0时，aex+2＞0，
∴x∈（﹣∞，﹣1）时，G′（x）＜0，G（x）递减，
x∈（﹣1，+∞）时，G′（x）＞0，G（x）递增，
∴G（x）极小值=G（﹣1）=﹣ ＜0，
∵G（0）=1＞0，∴x∈（﹣1，+∞）时，G（x）有唯一零点，
x＜﹣1时，ax＜0，则ex＜ ，∴axex＞ ，
∴G（x）＞ +（x+1）2=x2+（2+ ）x+1，
∵△= ﹣4×1×1= + ＞0，
∴t1 ， t2 ， 且t1＜t2 ， 当x∈（﹣∞，t1），（t2 ， +∞）时，
使得x2+（2+ ）x+1＞0，
取x0∈（﹣∞，﹣1），则G（x0）＞0，则x∈（﹣∞，﹣1）时，G（x）有唯一零点，
即a＞0时，函数G（x）有2个零点；
③a＜0时，G′（x）=a（x+1）（ex﹣（﹣ ）），
由G′（x）=0，得x=﹣1或x=ln（﹣ ），
若﹣1=ln（﹣ ），即a=﹣2e时，G′（x）≤0，G（x）递减，至多1个零点；
若﹣1＞ln（﹣ ），即a＜﹣2e时，G′（x）=a（x+1）（ex﹣（﹣ ）），
注意到y=x+1，y=ex+ 都是增函数，
∴x∈（﹣∞，ln（﹣ ））时，G′（x）＜0，G（x）是减函数，
x∈（ln（﹣ ），﹣1）时，G′（x）＞0，G（x）递增，
x∈（﹣1，+∞）时，G′（x）＜0，G（x）递减，
∵G（x）极小值=G（ln（﹣ ））=ln2（﹣ ）+1＞0，
∴G（x）至多1个零点；
若﹣1＜ln（﹣ ），即a＞﹣2e时，
x∈（﹣∞，﹣1）时，G′（x）＜0，G（x）是减函数，
x∈（﹣1，ln（﹣ ））时，G′（x）＞0，G（x）递增，
x∈（ln（﹣ ），+∞）时，G′（x）＜0，G（x）递减，
∵G（x）极小值=G（﹣1）=﹣ ＞0，
∴G（x）至多1个零点；
综上，若函数G（x）有2个零点，
则参数a的范围是（0，+∞）；
（ii）由（i）得：函数G（x）有2个零点，则参数a的范围是（0，+∞），
x1 ， x2是G（x）的两个零点，则有：
，即 ，即 = =﹣ ，
∵F（x）= ，则F（x1）=F（x2）＜0，且x1＜0，x1≠﹣1，x2＜0，x2≠﹣1，x1≠x2 ，
由（Ⅰ）知，当x∈（﹣∞，﹣1）时，F（x）是减函数，x∈（﹣1，+∞）时，F（x）是增函数，
令m＞0，F （=1+m）﹣F（﹣1﹣m）= （ e2m+1），
再令φ（m）= e2m+1=e2m﹣ ﹣1，
则φ′（m）= ＞0，
∴φ（m）＞φ（0）=0，又 ＞0，
m＞0时，F（﹣1+m）﹣F（﹣1﹣m）＞0恒成立，
即F（﹣1+m）＞F（﹣1﹣m）恒成立，
令m=﹣1﹣x1＞0，即x1＜﹣1，有F（﹣1+（﹣1﹣x1））＞F（﹣1﹣（﹣1﹣x1）），
即F（﹣2﹣x1）＞F（x1）=F（x2），
∵x1＜﹣1，∴﹣2﹣x1＞﹣1，又F（x1）=F（x2），必有x2＞﹣1，
当x∈（﹣1，+∞）时，F（x）是增函数，
∴﹣2﹣x1＞x2 ，
即x1+x2+2＜0．
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）（i）求出函数的导数，通过讨论a的范围，根据函数的零点的个数，求出a的范围即可；（ii）根据a的范围，得到 = =﹣ ，令m＞0，得到F （=1+m）﹣F（﹣1﹣m）= （ e2m+1），再令φ（m）= e2m+1，根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．