Question

如图，已知圆O的直径AB长度为4，点D为线段AB上一点，且AD=

1

3

DB，点C为圆O上一点，且BC=

3

AC．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=BD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求PD与平面PBC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知可得△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO．由点P在圆O所在平面上的正投影为点D，可得PD⊥平面ABC，得到PD⊥CD，再利用线面垂直的判定定理即可证明；
（II）过点D作DE⊥CB，垂足为E，连接PE，再过点D作DF⊥PE，垂足为F．得到DF⊥平面PBC，故∠DPF为所求的线面角．在Rt△DEB中，利用边角关系求出DE即可．

解答：（Ⅰ）证明：连接CO，由3AD=DB知，点D为AO的中点，
又∵AB为圆O的直径，∴AC⊥CB，
由

3

AC=BC知，∠CAB=60°，
∴△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO．
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
∴PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC，
∴PD⊥CD，
由PD∩AO=D得，CD⊥平面PAB．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知CD=

3

，PD=DB=3，
过点D作DE⊥CB，垂足为E，连接PE，再过点D作DF⊥PE，垂足为F．
∵PD⊥平面ABC，又CB?平面ABC，
∴PD⊥CB，又PD∩DE=D，
∴CB⊥平面PDE，又DF?平面PDE，
∴CB⊥DF，又CB∩PE=E，
∴DF⊥平面PBC，故∠DPF为所求的线面角．
在Rt△DEB中，DE=DBsin30°=

3

2

，PE=

PD2+DE2

=

3 5

2

，
sin∠DPF=sin∠DPE=

DE

PE

=

5

5

．

点评：熟练掌握等边三角形的判定与性质、正投影的意义、线面垂直的判定与性质定理、线面角的定义与作法、直角三角形的边角关系等是解题的关键．