Question

将函数在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a_n}，（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2，求证：，（n=1，2，3，…）．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵
=
∴f（x）的极值点为，
从而它在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大排列构成以为首项，为公差的等差数列，
∴，（n=1，2，3，…）
（Ⅱ）由知对任意正整数n，
a_n都不是π的整数倍，
所以sina_n≠0，
从而b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2≠0
于是
又，
{b_n}是以为首项，-1为公比的等比数列．
∴，（n=1，2，3，…）
分析：（Ⅰ）由=-，知f（x）的极值点为，从而它在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大排列构成以为首项，为公差的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由知对任意正整数n，a_n都不是π的整数倍，知sina_n≠0，从而b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2≠0．于是，由此能够证明，（n=1，2，3，…）．
点评：第（Ⅰ）题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意三角函数的性质和应用，合理运用三角函数的极值点进行解题．
第（Ⅱ）求证：，（n=1，2，3，…）．解题时要认真审题，利用三角函数的性质证明{b_n}是以为首项，-1为公比的等比数列．