Question

已知过抛物线y²=4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：弦所在的直线经过焦点（1，0），只需求出直线的斜率，因为弦长为36，所以可以判断直线的斜率是存在的且不为0．

解答： 解：可设弦所在的直线的斜率为k，且与抛物线交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点．
∵抛物线y²=4x的焦点F（1，0），
∴直线方程为y=k（x-1）．
代入抛物线方程，整理得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
∴x₁+x₂=

2k2+4

k2

，
又AB=AF+BF，抛物线到焦点距离等于到准线距离，
则A到准线距离=x₁-（-1）=x₁+1，B到准线距离=x₂+1，
所以x₁+1+x₂+1=AF+BF=36，
∴x₁+x₂=

2k2+4

k2

=34，
解得k=±

2

4

，所以所求的直线方程为y=±

2

4

（x-1）．

点评：本题考查直线方程的求法，具体涉及到抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．