Question

如图所示，平面∥平面，点A∈，C∈，点B∈，D∈,点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD.
（1）求证：EF∥;
（2）若E，F分别是AB，CD的中点，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角为60°，
求EF的长.

Answer 1

（1）证明略（2）EF=或EF=

（1） ①当AB，CD在同一平面内时，


由∥，平面∩平面ABDC=AC，
平面∩平面ABDC=BD，∴AC∥BD，                   2分
∵AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD，
又EF,BD,∴EF∥.                     4分
②当AB与CD异面时，
设平面ACD∩=DH，且DH=AC.
∵∥，∩平面ACDH=AC，
∴AC∥DH，∴四边形ACDH是平行四边形，             6分
在AH上取一点G，使AG∶GH=CF∶FD，
又∵AE∶EB=CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH，
又EG∩GF=G，∴平面EFG∥平面.
∵EF平面EFG，∴EF∥.综上，EF∥.         8分
（2）解 如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴ME∥BD，MF∥AC，
且ME=BD=3，MF=AC=2，
∴∠EMF为AC与BD所成的角（或其补角），
∴∠EMF=60°或120°，                         12分
∴在△EFM中由余弦定理得，
EF=
==，
即EF=或EF=.                                16分