【题目】如图,在直三棱柱侧棱和底面垂直的棱柱中,平面侧面,,线段AC、上分别有一点E、F且满足,.
求证:;
求点E到直线的距离;
求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)见解析
(2)
(3)﹣
【解析】
试题(1)过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D,由已知条件推导出AD⊥平面A1BC,由此能证明AB⊥BC.
(2)以点B为坐标原点,以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出点E到直线A1B的距离.
(3)分别求出平面BEF的法向量和平面BEC的法向量,利用向量法能求出二面角F﹣BE﹣C的平面角的余弦值.
(1)证明:如图,过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D,
则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,
且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B,
∴AD⊥平面A1BC,
又∵BC平面A1BC,∴AD⊥BC.
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,∴AA1⊥底面ABC,∴AA1⊥BC.
又∵AA1∩AD=A,∴BC⊥侧面A1ABB1,
又∵AB侧面A1ABB1,∴AB⊥BC.(4分)
(2)解:由(1)知,以点B为坐标原点,
以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
B(0,0,0),A(0,3,0),C(3,0,0),A1(0,3,3)
∵线段AC、A1B上分别有一点E、F,满足2AE=EC,2BF=FA1,
∴E(1,2,0),F(0,1,1),
∴,.
∵=0,∴EF⊥BA1,
∴点E到直线A1B的距离.(8分)
(3)解:,
设平面BEF的法向量,
则,取x=2,得=(2,﹣1,1),
由题意知平面BEC的法向量,
设二面角F﹣BE﹣C的平面角为θ,
∵θ是钝角,∴cosθ=﹣|cos<>|=﹣=﹣,
∴二面角F﹣BE﹣C的平面角的余弦值为﹣.
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【题目】随着“互联网+交通”模式的迅猛发展,“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度,随机调查了40个用户,得到用户的满意度评分如下:
用户编号 | 评分 | 用户编号 | 评分 | 用户编号 | 评分 | 用户编号 | 评分 |
01 | 78 | 11 | 88 | 21 | 79 | 31 | 93 |
02 | 73 | 12 | 86 | 22 | 83 | 32 | 78 |
03 | 81 | 13 | 95 | 23 | 72 | 33 | 75 |
04 | 92 | 14 | 76 | 24 | 74 | 34 | 81 |
05 | 95 | 15 | 97 | 25 | 91 | 35 | 84 |
06 | 85 | 16 | 78 | 26 | 66 | 36 | 77 |
07 | 79 | 17 | 88 | 27 | 80 | 37 | 81 |
08 | 84 | 18 | 82 | 28 | 83 | 38 | 76 |
09 | 63 | 19 | 76 | 29 | 74 | 39 | 85 |
10 | 86 | 20 | 89 | 30 | 82 | 40 | 89 |
现用随机数法读取用户编号,且从第2行第6列的数开始向右读,从40名用户中抽取容量为10的样本.(下面是随机数表第1行第至第5行)
95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32
81 76 80 16 92 04 80 44 25 39 91 03 69 79 83
54 31 62 27 32 94 07 53 89 35 96 35 23 79 18
05 98 90 07 35 46 40 62 98 80 54 97 20 56 95
(1)请你列出抽到的10个样本的评分数据;
(2)计算所抽到的10个样本的均值和方差;
(3)在(2)条件下,若用户的满意度评分在之间,则满意度等级为“级”.试应用样本估计总体的思想,根据所抽到的10个样本,估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比是多少?(参考数据:)
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【题目】随着经济的发展,个人收入的提高.自2018年10月1日起,个人所得税起征点和税率的调整.调整如下:纳税人的工资、薪金所得,以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表,调整前后的计算方法如下表:
(1)假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元,记表示总收入,y表示应纳的税,试写出调整前后y关于的函数表达式;
(2)某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入,并制成下面的频数分布表:
先从收入在[3000,5000)及[5000,7000)的人群中按分层抽样抽取7人,再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员,求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率;
(3)小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时,请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少?
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【题目】如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB=AD,BD⊥CD,点E、F分别是棱BC、BD的中点.
(1)求证:EF∥平面ACD;
(2)求证:AE⊥BD.
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【题目】如图1为某省2018年1~4月快递业务量统计图,图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图,下列对统计图理解错误的是( )
A. 2018年1~4月的业务量,3月最高,2月最低,差值接近2000万件
B. 2018年1~4月的业务量同比增长率均超过50%,在3月底最高
C. 从两图来看,2018年1~4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D. 从1~4月来看,该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长
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【题目】已知关于直线对称,且圆心在轴上.
(1)求的标准方程;
(2)已经动点在直线上,过点引的两条切线、,切点分别为.
①记四边形的面积为,求的最小值;
②证明直线恒过定点.
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【题目】已知数列{an}中,a1=1且an﹣an﹣1=3×()n﹣2(n≥2,n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式:
(2)若对任意的n∈N*,不等式1≤man≤5恒成立,求实数m的取值范围.
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