Question

3．有如下几个命题：
①函数$f（x）=3sin（2x-\frac{π}{6}）+1$的一个对称轴为$x=\frac{π}{3}$；
②已知点A（2，-3），B（-3，-2），直线l：mx+y-m-1=0与线段AB相交，则直线l的斜率的范围是$[{-4，\frac{3}{4}}]$；
③若实数a+b=2，a，b为正数，则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值为$\frac{9}{2}$；
④实数x，y满足3x+4y+6=0，则x²+y²+2x+4y+5的最小值为$\frac{4}{25}$；
⑤已知数列{a_n}的前n项和${S_n}={n^2}+3n-1$，则a_n=2n+1．
其中，所有正确的命题是①③．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 ①利用正弦函数图象性质，过最值点的直线是函数的对称轴，把$x=\frac{π}{3}$代人得：3sin$\frac{π}{2}$+!，取到最大值，是函数的一个对称轴；
②直线l：mx+y-m-1=0，m（x-1）+（y-1）=0 经过定点P（1，1），利用数学结合可得斜率的范围是（$\frac{3}{4}$，+∞）和（-∞，-4）；
③代换a+b=2可得$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=$\frac{a+b}{2a}+\frac{2（a+b）}{b}$=$\frac{5}{2}$$+\frac{b}{2a}$$+\frac{2a}{b}$≥$\frac{9}{2}$；
④x²+y²+2x+4y+5=（x+1）²+（y+2）²，是直线3x+4y+6=0上的点到定点（-1，-2）的距离的平方，利用点到直线的距离公式可求；
⑤当n=1是，s₁=3，a₁=3，当n＞1时，a_n=s_n-s_n-1

解答 解：①把$x=\frac{π}{3}$代人得：3sin$\frac{π}{2}$+!，取到最大值，是函数的一个对称轴，故正确；
②直线l：mx+y-m-1=0
m（x-1）+（y-1）=0 经过定点P（1，1）
k_PA=-4，k_PB=$\frac{3}{4}$，
∴斜率的范围是（$\frac{3}{4}$，+∞）和（-∞，-4），故错误；
③$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=$\frac{a+b}{2a}+\frac{2（a+b）}{b}$=$\frac{5}{2}$$+\frac{b}{2a}$$+\frac{2a}{b}$≥$\frac{9}{2}$，故正确；
④x²+y²+2x+4y+5=（x+1）²+（y+2）²，是直线3x+4y+6=0上的点到定点（-1，-2）的距离的平方，
∴最小值为垂涎段长的平方为1，故错误；
⑤当n=1是，s₁=3，a₁=3，
当n＞1时，a_n=s_n-s_n-1=2n+2，故错误．
故答案为①③．

点评 考查了对称轴和数列通项的求法和数学结合的应用．综合性强，考场知识点多．